Question

【題目】設a為實數，記函數f（x）=a + + 的最大值為g（a）．
（1）設t= + ，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）；
（3）試求滿足g（a）=g（ ）的所有實數a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵t= + ，要使t有意義，必須1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1．

∵t2=2+2 ∈[2，4]，且t≥0…①，

∴t的取值范圍是[ ，2]．

由①得： = t2﹣1，∴m（t）=a（ t2﹣1）+t= at2+t﹣a，t∈[ ，2]

（2）解：由題意知g（a）即為函數m（t）= at2+t﹣a，t∈[ ，2]的最大值，

∵直線t=﹣ 是拋物線m（t）= at2+t﹣a的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：

1°當a＞0時，函數y=m（t），t∈[ ，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由t=﹣ ＜0知m（t）在t∈[ ，2]上單調遞增，故g（a）=m（2）=a+2；

2°當a=0時，m（t）=t，在t∈[ ，2]上單調遞增，有g（a）=2；

3°當a＜0時，函數y=m（t），t∈[ ，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若t=﹣ ∈（0， ]即a≤﹣ 時，g（a）=m（ ）= ，

若t=﹣ ∈（ ，2]即a∈（﹣ ，﹣ ]時，g（a）=m（﹣ ）=﹣a﹣ ，

若t=﹣ ∈（2，+∞）即a∈（﹣ ，0）時，g（a）=m（2）=a+2．

綜上所述，有g（a）=

（3）解：當a＞﹣ 時，g（a）=a+2＞ ＞

a∈（﹣ ，﹣ ]時，﹣a∈[ ， ]，﹣a≠﹣

g（a）=﹣a﹣ ＞2 =

∴a＞﹣ 時，g（a）＞

當a＞0時， ＞0，由g（a）=g（ ）可得 ，∴a=1；

當a＜0時，a =1，∴a≤﹣1或 ≤﹣1

∴g（a）= 或g（ ）=

要使g（a）=g（ ），只需a≤﹣ ， ≤﹣ ，∴

綜上，滿足g（a）=g（ ）的所有實數a 或a=1

【解析】（1）令t= + ，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，進而得m（t）的解析式．（2）由題意知g（a）即為函數m（t）= at2+t﹣a，t∈[ ，2]的最大值，分a＞0、a=0、a＜0三種情況利用函數的單調性求出函數f（x）的最大值為g（a）；（3）分類討論，求得g（a）的范圍，即可求得滿足g（a）=g（ ）的所有實數a．