Question

已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且（0，-

2

）是橢圓M的一個焦點，又點A（1，

2

）在橢圓M上．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知直線l的斜率是

2

，若直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，代入A的坐標，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線BC的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理計算弦長，求出點A到BC的距離，可得三角形的面積，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為（0，-

2

），故設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1．
將點A（1，

2

）代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1
（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為y=

2

x+m，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入橢圓方程并化簡得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8①
由x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x1-x2|=

3 • 16-2m2

2

．
又點A到BC的距離為d=

|m|

3

，
故S_△ABC=

1

2

|BC|d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²=16-2m²，即m=±2時取等號（滿足①式）
所以△ABC面積的最大值為

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．