Question

設F₁，F₂是橢圓E：

x2

a2

+2y2=1（a＞

2

2

）的左右焦點，過F₁的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列
（1）求|AB|；
（2）若直線l的斜率為1，求橢圓E的方程．

Answer 1

（1）由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列，
得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a．
所以3|AB|=4a，|AB|=

4

3

a；
（2）由題意設直線l的方程為y=x+c．
聯立

y=x+c x2 a2 +2y2=1

，得（2a²+1）x²+4a²cx+2a²c²-a²=0
則x1+x2=

-4a2c

2a2+1

，x1x2=

2a2c2-a2

2a2+1

．
所以|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 4a2c 2a2+1 )2-4• 2a2c2-a2 2a2+1

=

2

-8a2c2+8a4+4a2 (2a2+1)2

=

4a

3

．
解得：a²=2．
代入△滿足△＞0成立．
所以橢圓方程為

x2

2

+2y2=1．