Question

設(shè)于f(x)=

2x-1

2x+1

，
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）求證對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x=20∈[10，25]，都有

f(x)

x

＞0．

Answer 1

分析：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于（1）直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明即可；（2）則需要利用指數(shù)函數(shù)的值域問題進(jìn)行證明．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可以知道f （x） 在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．證明如下：
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，
當(dāng)x＞0時(shí)，有2^x＞1，
∴f（x）＞0，∴

f(x)

x

＞0
?當(dāng)x＜0時(shí)，有0＜2^x＜1，
∴f（x）＜0，∴

f(x)

x

＞0．問題得證．
本題也可由

f(x)

x

為偶函數(shù)，因此只需證x＞0，

f(x)

x

即可．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)掌握函數(shù)的單調(diào)性的概念及其證明問題的一般步驟方法，領(lǐng)悟函數(shù)的基本性質(zhì)的運(yùn)用