Question

【題目】某工廠的檢驗員為了檢測生產線上生產零件的情況,從產品中隨機抽取了個進行測量,根據所測量的數據畫出頻率分布直方圖如下:

注:尺寸數據在內的零件為合格品,頻率作為概率.

(Ⅰ) 從產品中隨機抽取件,合格品的個數為,求的分布列與期望；

(Ⅱ) 從產品中隨機抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；

(Ⅲ) 為了提高產品合格率,現提出兩種不同的改進方案進行試驗.若按方案進行試驗后,隨機抽取件產品,不合格個數的期望是；若按方案試驗后,抽取件產品,不合格個數的期望是,你會選擇哪個改進方案?

Answer 1

【答案】(Ⅰ)分布列見解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)選擇方案.

【解析】

(Ⅰ)先根據直方圖求出合格率，然后求出ξ的可能取值和相應的概率，作分布列，再利用隨機變量的分布列進行求期望；

(Ⅱ)根據n件產品都合格的概率大于等于0.3，列不等式求解n的最大值；

(Ⅲ)根據期望求出A，B方案不合格的概率，即可選擇.

(Ⅰ)由直方圖可知,抽出產品為合格品的頻率為,即抽出產品為合格品的概率為, 從產品中隨機抽取件,合格品的個數的所有可能取值為且 ,,, ,, 所以的分布列為

故數學期望

(Ⅱ) 隨機抽取件,全是合格品的概率為,依題意,故的最大值為.

(Ⅲ) 按方案隨機抽取產品不合格的概率是,隨機抽取件產品,不合格個數；

按方案隨機抽取產品不合格的概率是,隨機抽取件產品,不合格個數,

依題意,,解得,

因為,所以應選擇方案.