Question

張家界某景區為提高經濟效益，現對某一景點進行改造升級，從而擴大內需，提高旅游增加值，經過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x（x≥10）萬元之間滿足：，a，b為常數．當x=10萬元時，y=19.2萬元；當x=20萬元時，y=35.7萬元．（參考數據：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求該景點改造升級后旅游利潤T（x）的最大值．（利潤=旅游增加值-投入）

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件：“當x=10萬元時，y=19.2萬元；當x=20萬元時，y=35.7萬元”列出關于a，b的方程，解得a，b的值即得則求f（x）的解析式；
（2）先寫出函數T（x）的解析式，再利用導數研究其單調性，進而得出其最大值，從而解決問題．
解答：解：（1）由條件（2分）
解得（4分）
則．（6分）
（2）由
則（10分）
令T'（x）=0，則x=1（舍）或x=50
當x∈（10，50）時，T'（x）＞0，
因此T（x）在（10，50）上是增函數；
當=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²時，T'（x）＜0，
因此T（x）在（50，+∞）上是減函數，∴x=50為T（x）的極大值點（12分）
即該景點改造升級后旅游利潤T（x））的最大值為T（50）=24.4萬元．（13分）
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．