Question

【題目】已知函數，函數．

⑴若的定義域為，求實數的取值范圍；

⑵當時，求函數的最小值；

⑶是否存在非負實數、，使得函數的定義域為，值域為，若存在，求出、的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】⑴；⑵；⑶存在滿足題意．

【解析】

試題分析：對問題⑴，根據題目條件首先要對實數的取值進行分類討論，再結合極端不等式恒成立即可求出函數的定義域為時實數的取值范圍；對于問題⑵，根據二次函數的單調性并結合對參數的分類討論，即可求得函數的最小值；對問題⑶，根據二次函數的單調性以及函數與方程的思想即可知道存在符合題意的實數、的值．

試題解析：⑴定義域為．

所以對一切成立． ……………………1分

當時，不可能對一切成立． ……………………2分

所以，即解得．

綜上． ……………………4分

⑵，

令，

所以 ……………………5分

當時，． ……………………6分

當時，． ……………………7分

當時，． ……………………8分

所以 ……………………9分

⑶在上是增函數，

若存在非負實數、滿足題意，則，………………………………10分

即、是方程的兩非負實根，且，

所以．

即存在滿足題意………………………………12分．