Question

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓的直徑為的長(zhǎng)軸.如圖，是橢圓短軸端點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，垂直于交橢圓于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求 面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）

【解析】

試題分析：（1）已知橢圓的離心率為即可得到與的關(guān)系式,再結(jié)合橢圓過(guò)點(diǎn),代入橢圓方程組成方程組可求解得到橢圓方程; （2） 要求面積可先求兩個(gè)弦長(zhǎng)度,是一直線與圓相交得到的弦長(zhǎng),可采用圓的弦長(zhǎng)公式,而是橢圓的弦長(zhǎng),使用公式求解,把面積表示成變量的函數(shù), 求其最值時(shí)可用換元法求解.對(duì)當(dāng)斜率為0時(shí)要單獨(dú)討論.

試題解析：（1）由已知得到,所以,即.

又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),故,

解得,

所以橢圓的方程是

（2）因?yàn)橹本�且都過(guò)點(diǎn)

①當(dāng)斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線,直線,即,

所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截弦

由得,

所以

.

所以.

令,則,

當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,

故面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為

②當(dāng)斜率為0時(shí),即,此時(shí)

當(dāng)的斜率不存在時(shí),不合題意;

綜上, 面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)公式,換元法求函數(shù)最值.