Question

設F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，F₁F₂=8，P是橢圓上的點，PF₁+PF₂=10，且PF₁⊥PF₂，則點P的個數是

 

．

Answer 1

分析：設PF₁=x₁，PF₂=x₂，則可知x₁+x₂的值，根據勾股定理知x₁²+x₂²=F₁F₂²，進而求得x₁x₂的值．根據韋達定理可知x₁，x₂是函數x²-10x+18=0的根，通過△判定方程有2不同根，故知P至少有2個，又根據橢圓的對稱可知點P的個數應為4．

解答：解：設PF₁=x₁，PF₂=x₂，則x₁+x₂=10，
∵PF₁⊥PF₂，
∴x₁²+x₂²=64
∴x₁x₂=

1

2

[（x₁+x₂）²-x₁²+x₂²]=18，
依題意x₁，x₂，是函數x²-10x+18=0，
△=100-72=28＞0故方程有兩個不同根．
又根據橢圓的對稱性可知點p的個數為4．
故答案為：4．

點評：本題主要考查了橢圓的性質．屬基礎題．