Question

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F₂，且它們在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2）．則該橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：作出圖象，結合圖象把問題轉化為1＜

c

5-c

＜2，求

c

5+c

的取值范圍．

解答：解：如圖，設雙曲線的半實軸長，半焦距分別為a₂，c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則

m+n=2a1 m-n=2a2 m=10 n=2c

?

a1=5+c a2=5-c

，
問題轉化為已知1＜

c

5-c

＜2，求

c

5+c

的取值范圍．
設

c

5-c

=x，則c=

5x

1+x

，

c

5+c

=

x

2x+1

=

1

2

-

1

4x+2

．
∵1＜x＜2，∴

1

2

-

1

6

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

1

2

-

1

10

，即

1

3

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

2

5

．
故答案為：（

1

3

，

2

5

）．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，作出圖象，數形結合，事半功倍．