Question

已知函數f(x)=

sin2x+cos2x+1

2 sin( π 4 +x)

+cos(

π

2

+x)．
（1）當x∈[-

π

6

，

π

6

]時，求f（x）的最大值
（2）若-π＜θ＜0，且f（θ）=2，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（x）=2cosx-sinx=-

5

sin[x+arctan(-2)]，再利用角的范圍求出最值即可．
（2）由題意可得：

sinθ

1-cosθ

=-2，再利用二倍角公式可得tan

θ

2

=

1-cosθ

sinθ

=-

1

2

，且

θ

2

∈(-

π

2

，0)，進而求出答案．

解答：解：（1）由題意可得：f(x)=

sin2x+cos2x+1

2 sin( π 4 +x)

+cos(

π

2

+x)
=

2sinxcosx+2cos2x

sinx+cosx

-sinx
=2cosx-sinx
=-

5

sin[x+arctan(-2)]，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，-

π

2

＜arctan(-2)＜-

π

3

．
∴x+arctan(-2)∈(-

2π

3

，-

π

6

)
因此當x+arctan(-2)=-

π

2

，即x=arctan2-

π

2

時，
f(x)max=

5

．
（2）由題意可得：f（θ）=2cosθ-sinθ=2，即

sinθ

1-cosθ

=-2，
又因為tan

θ

2

=

1-cosθ

sinθ

=-

1

2

，且

θ

2

∈(-

π

2

，0)，
所以tanθ=

2tan θ 2

1-2tan θ 2

=-

4

3

．

點評：本題考查利用兩角和與差的正弦余弦公式以及二倍角公式對三角函數進行化簡并且求值，并且考查三角函數最值的求解，考查計算能力，是中檔題．