Question

已知函數f (x)＝x³＋(1－a)x²－3ax＋1，a＞0．

(Ⅰ) 證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；

(Ⅱ) 設(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)先利用導數求出單調區間，再分情況證明；

(Ⅱ)

【解析】

試題分析：

(Ⅰ) 由于f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，

故f (x)在[0，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增．

又f (0)＝1，f (a)＝－a³－a²＋1＝(1－a)(a＋2) ²－1．

當f (a)≥－1時，取p＝a．

此時，當x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．

當f (a)＜－1時，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，

故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．

此時，當x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．

綜上，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1．             7分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值為f (a)．

當0＜a≤1時，f (a)≥－1，則g(a)是方程f (p)＝1滿足p＞a的實根，

即2p²+3(1－a)p－6a＝0滿足p＞a的實根，所以

g(a)＝．

又g(a)在(0，1]上單調遞增，故g(a)_max＝g(1)＝．

當a＞1時，f (a)＜－1．

由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故[0，p]Ì [0，1]．

此時，g(a)≤1．

綜上所述，g(a)的最大值為．                                               15分

考點：本題主要考查利用導數研究函數的性質等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創新意識。

點評：研究函數的性質往往離不開導數，導數是研究函數性質的有力工具，要靈活運用；另外，函數如果含參數，一般離不開分類討論，分類討論時要做到不重不漏.