Question

已知函數.

（1）設函數求的極值.

（2）證明：在上為增函數。

 

Answer 1

【答案】

（1） 當時，無極值；當時，在處取得極小值，無極大值。 （2）見解析

【解析】

試題分析：（1） ,在求極值時要對參數討論,顯然當時為增函數,無極值,當時可求得的根,再討論兩側的單調性; （2）要證明增函數,可證明恒正,可再次對函數進行求導研究其單調性與最值,只要說明的最小值恒大于等于0即可.已知函數在一個區間上的單調性,可轉化為導函數在這個區間上恒正或恒負問題,變為一個恒成立問題,可用相應函數的整體最值來保證,若求參數范圍可以采用常數分離法.

試題解析：（1）由題意：

①當時，，為上的增函數，所以無極值。

②當時，令得，

，；，

所以在上單調遞減，在上單調遞增

所以在處取得極小值，且極小值為，無極大值

綜上，當時，無極值；當，在處取得極小值，無極大值。

（2）由

設，則

所以時，；時，

所以在上單調遞減,在上單調遞增,

所以即在上單調遞增.

考點：1、函數的極值最值求法；2、構造函數解決新問題.