Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求四面體的體積；
（3）線段上是否存在點，使平面？請證明你的結論.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用勾股定理得到，再結合并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明平面，從而得到為三棱錐的高，并計算的面積作為三棱錐的底面積。最后利用錐體的體積公式計算四面體的體積；（3）連接交于點，根據平行四邊形的性質得到為的中點，然后取的中點，構造底邊的中位線，得到，結合直線與平面平行的判定定理得到平面.
試題解析：（1）在中，因為，，，，
，
又因為，且，平面，平面，平面；
（2）因為平面，且平面，，
又，且，平面，平面，
平面，即為三棱錐的高，
在等腰梯形中可得，所以，
的面積為，
所以四面體的體積為；
（3）線段上存在點，且為的中點時，有平面，

證明如下：連接，與交于點，連接，
四邊形為正方形，所以為的中點，
又為的中點，，
平面，平面，平面，
因此線段上存在點，使得平面成立.