Question

若關于x的方程ax+

1

x2

=3的正實數解有且僅有一個，那么實數a的取值范圍為（　　）

A．a≤0

B．a≤1

C．a≤1或a=2

D．a≤0或a=2

Answer 1

由函數解析式可得：x≠0，
如果關于x的方程 ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數解，
構造函數f（x）=ax³-3x²+1，則函數f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
①當a=0時，代入原方程知此時僅有一個正數解

3

滿足要求；
②當a＞0時，則得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

a

）上單調遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x=2a時，f（x）取到極小值0，x=

2

a

入原方程得到正數解a=2，滿足要求；
③當a＜0時，同理f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上單調遞減，在（

2

a

，0）上單調遞增，
函數的極大值f（0）=1＞0，f（x）=0有1正根，a＜0滿足條件
綜上可得a≤0，a=2
故選：D