Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線平行于軸．

（1）求的單調區間；

（2）證明：當時， ．

Answer 1

【答案】（1）遞減區間為，遞增區間為．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求得的導數，由題意可得，解方程可得，由導數與單調性的關系，結合，可得的單調區間；（2）討論①當時，求得的最小值，可得結論成立；②當時，設，求出導數，構造函數，求得導數，判斷單調性，可得最小值，即可得證.

試題解析：（1）因為， ，

依題意得，即，解得．

所以，顯然在單調遞增且，

故當時， ；當時， ．

所以的遞減區間為，遞增區間為．

（2）①當時，由（1）知，當時， 取得最小值．

又的最大值為，故．

②當時，設，

所以，

令， ，則，

當時， ,，所以，

當時， ， ，所以，

所以當時， ，故在上單調遞增，

又 ，所以當時， ； 當時， ．

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以當時， 取得最小值，

所以，即．

綜上，當 時， ．