Question

已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點為A₁、A₂，與y軸平行的直線l交雙曲線于點P、Q.
(1)求直線A₁P與A₂Q交點M的軌跡方程；
(2)當m≠n時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率.

Answer 1

(1)=1, M的軌跡方程是 (2)(ⅰ)當m＞n時，焦點坐標為(±,0)，準線方程為x=±,離心率e=；
(ⅱ)當m＜n時，焦點坐標為(0,±),準線方程為y=±,離心率e=.

(1)設P點的坐標為(x₁,y₁)，則Q點坐標為(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),則A₁P的方程為: y=                 ①
A₂Q的方程為: y=－                              ②
①×②得: y²=－                              ③
又因點P在雙曲線上，故
代入③并整理得=1, 此即為M的軌跡方程.
(2)當m≠n時，M的軌跡方程是橢圓.
(ⅰ)當m＞n時，焦點坐標為(±,0)，準線方程為x=±,離心率e=；
(ⅱ)當m＜n時，焦點坐標為(0,±),準線方程為y=±,離心率e=.