Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中點.

(Ⅰ)求二面角O₁-BC-D的大小；

(Ⅱ)求點E到平面O₁BC的距離.

Answer 1

答案：解法—：(Ⅰ)過AC、BD的交點O作OF⊥BC于F,連接O₁F,

∵OO₁⊥面AC,∴BC⊥O₁F,∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角,

∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.在Rt△O₁OF在tan∠O₁FO=,

∴∠O₁FO=60°即二面角O₁-BC-D為60° 

(Ⅱ)在△O₁AC中,OE是△O₁AC的中位線,∴OE∥O₁C,∴OE∥面O₁BC,

∵BC⊥面O₁OF,∴面O₁BC⊥面O₁OF,交線O₁F.過O作OH⊥O₁F于H,則OH是點O到面O₁BC的距離,∴OH=,∴點E到面O₁BC的距離等于. 

解法二：(Ⅰ)連AC、DB交于O,∵OO₁⊥平面AC,∴OO₁⊥OA,OO₁⊥OB,又OA⊥OB,

建立如圖所示的空間直角坐標系(如圖)

∵底面ABCD是邊長為4,∠DAB=60°的菱形,∴OA=,OB=2,

則A(,0,0),B(0,2,0),C(-,0,0),O₁(0,0,3)設平面O₁BC的法向量為n₁=(x,y,z),

則n₁⊥,n₁⊥,∴則z=2,則x=,y=3,

∴n₁=(,3,2),而平面AC的法向量n₂=(0,0,3) 

∴cos〈n₁,n₂〉=

設O₁-BC-D的平面角為α,∴cosα=,∴α=60°.故二面角O₁-BC-D為60°.

(Ⅱ)設點E到平面O₁BC的距離為d,∵E是O₁A的中點,∴=(),

則d=

∴點E到面O₁BC的距離等于