Question

【題目】已知曲線，過點作直線和曲線交于、兩點.

（1）求曲線的焦點到它的漸近線之間的距離；

（2）若，點在第一象限，軸，垂足為，連結，求直線傾斜角的取值范圍；

（3）過點作另一條直線，和曲線交于、兩點，問是否存在實數，使得和同時成立？如果存在，求出滿足條件的實數的取值集合，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，實數的取值集合為

【解析】

（1）求出曲線的焦點和漸近線方程，利用點到直線的距離公式求求解即可；

（2）設，，表示出直線的斜率，根據的范圍，求出其范圍，進而得到傾斜角的取值范圍；

（3）直接求出當直線，直線和當直線，直線時，的值，當時，與雙曲線聯立可得，利用弦長公式求出和，利用列方程求出的值，驗證判別式成立即可得出結果.

（1）曲線的焦點為，漸近線方程，

由對稱性，不妨計算到直線的距離，.

（2）設，，從而

又因為點在第一象限，所以，

從而，

所以直線傾斜角的取值范圍是；

（3）當直線，直線

，

當直線，直線時，

不妨設，與雙曲線聯立可得，

由弦長公式，

將替換成，可得

由，可得，

解得，此時成立．

因此滿足條件的集合為