Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD．
（1）當a為何值時，BD⊥平面PAC？試證明你的結論．
（2）當a=4時，求D點到平面PBC的距離．
（3）當a=4時，求直線PD與平面PBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由兩組線線垂直即可判定線面垂直，而已有BD⊥PA，所以只需BD⊥AC則可判定BD⊥平面PAC，故a=2即可．
（2）先由平面PBC中的

PB

、

BC

確定它的一個法向量

n

，然后求出

DC

在法向量

n

上的投影長，即D點到平面PBC的距離．
（3）先由

DP

與

n

的夾角確定它們所在直線的夾角，則該角的余角即為直線PD與平面PBC所成的角．

解答：解：以A為坐標原點，AD、AB、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
（1）當a=2時，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．
（2）當a=4時，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），
則

PB

=（0，2，-2），

BC

=（4，0，0），

DC

=（0，2，0）．
設平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

PB

=0，

n

•

BC

=0，
即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，不妨取y=1，故

n

=（0，1，1）．
則D點到平面PBC的距離d=

| n • DC |

| n|

=

2

．
（3）由（2）知，

DP

=（-4，0，2），
則cos＜

DP

，

n

＞=

DP • n

| DP | | n |

=

10

10

＞0，
設＜

DP

，

n

＞=α，直線PD與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=sin（

π

2

-α）=cosα=

10

10

．
所以直線PD與平面PBC所成的角為arcsin

10

10

．

點評：本題主要考查向量法解決立體幾何中的距離及夾角問題．