Question

（2013•陜西）（不等式選做題） 
已知a，b，m，n均為正數，且a+b=1，mn=2，則（am+bn）（bm+an）的最小值為

2

．

Answer 1

分析：利用二維形式的柯西不等式的代數形式：設a，b，c，d∈R 均為實數，則（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²其中等號當且僅當

a

c

=

b

d

時成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．

解答：解：根據二維形式的柯西不等式的代數形式：
（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
可得（am+bn）（bm+an）≥（

am

•

an

+

bn

•

bm

）²
=mn（a+b）²
=2×1=2，當且僅當

am

an

=

bn

bm

即m=n時，取得最小值2．
故答案為：2．

點評：本小題主要考查二維形式的柯西不等式等基礎知識，屬于基礎題．