Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（x）=-f（x+

3

2

），若f（-1）≤1，f（5）=

2a-3

a+1

，則a的取值范圍是

（1，4]

．

Answer 1

分析：由f（x）=-f（x+

3

2

），得到函數(shù)的周期性，利用周期性和奇偶性將f（5）與f（-1）建立關(guān)系．

解答：解：由f（x）=-f（x+

3

2

），得f（x+

3

2

）=-f（x），所以f（x+3）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期是3．
所以f（5）=f（-1）．
因為f（x）是奇函數(shù)，且f（-1）≤1，
所以

2a-3

a+1

≤1，即

a-4

a+1

≤0，解得1＜a≤4．
即a的取值范圍是（1，4]．
故答案為：（1，4]．

點評：本題主要考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，先利用條件求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．