Question

設實數x，y滿足

x≤3 x-y+2≥0 x+y-4≥0

，則x²+y²的取值范圍是

[8，34]

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，設P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值，因此運動點P并加以觀察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x²+y²的范圍．

解答：解：作出不等式組

x≤3 x-y+2≥0 x+y-4≥0

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，
其中A（3，5），B（3，1），C（1，3）
設P（x，y）為區域內一個動點
則|OP|=

x2+y2

，
因此x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值
∵當P與A重合時|OP|=

32+52

=

34

達到最大值，
當P與原點O在BC上的射影D重合量，|OP|=

|0+0-4|

1+1

=2

2

達到最小值
∴|OP|²的最小值為8，最大值為34，即x²+y²的取值范圍是[8，34]
故答案為：[8，34]

點評：本題給出二元一次不等式組，求x²+y²的取值范圍，著重考查了兩點的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．