Question

設a,b,c,x,y,z均為正實數,且滿足a²+b²+c²=25,x²+y²+z²=36,ax+by+cz=30.求的值.

Answer 1

解析:根據已知等式的特點,可考慮用柯西不等式.

由柯西不等式等號成立的條件,知=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得

30²=(ax+by+cz)²

≤(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)

=25×36,

當且僅當=λ時,上式等號成立.

于是a=λx,b=λy,c=λz,從而有

λ²(x²+y²+z²)=25,

∴λ=±(舍負),

即.

故由等比定理,得=.