Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB為直徑作⊙O，連接OC，過點C作⊙O的切線CD，D為切點，若sin∠OCD=

4

5

，則直徑AB=

 

．

Answer 1

分析：作輔助線，連接OD，則OD⊥CD，根據切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角，可知：CD=BC，∠OCD=∠OCB．故在Rt△OCD中，運用三角函數可將半徑OD的值求出，進而可將直徑AB求出．

解答：解：連接OD，則OD⊥CD．
∵∠ABC=90°，∴CD、CB為⊙O的兩條切線．
∴根據切線長定理得：CD=BC=6．
在Rt△OCD中，sin∠OCD=

4

5

，
∴tan∠OCD=

4

3

，OD=tan∠OCD×CD=8．
∴AB=2OD=16．
故答案為16．

點評：本題綜合考查了切線的性質，切線長定理及解直角三角形的運算能力，在解題時，遇到切線，要連接過切點的半徑．