Question

【題目】如圖，一塊弓形余布料EMF，點M為弧的中點，其所在圓O的半徑為4 dm（圓心O在弓形EMF內），∠EOF=．將弓形余布料裁剪成盡可能大的矩形ABCD(不計損耗)， AD∥EF，且點A、D在弧上，設∠AOD=．

（1）求矩形ABCD的面積S關于的函數關系式；

（2）當矩形ABCD的面積最大時，求cos的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) cosθ＝

【解析】試題分析： 分類討論，求出,可得矩形的面積與關于的函數解析式。

求導確定函數的單調性，即可求的值。

解析：(1) 設矩形鐵片的面積為S，∠AOM＝θ.

當0＜θ＜ 時(如圖1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，

S＝AB×AD＝ (4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．

當≤θ＜時(如圖2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，

故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ.

綜上得，矩形鐵片的面積S關于θ的函數關系式為

(2) 當0＜θ＜時，求導，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]

＝16(4cos2 θ＋cos θ－2)．

令S′＝0，得cosθ＝. 記區間內余弦值等于的角為θ0(唯一存在)，

列表：

θ	(0，θ0)	θ0
S′	＋	0	－
S		極大值

又當≤θ＜時，S＝32sin2θ是單調減函數，所以當θ＝θ0，即cosθ＝ 時，矩形鐵片的面積最大．