Question

【題目】已知函數是奇函數．

（1）求實數的值；

（2）用定義證明函數在上的單調性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由奇函數性質得，解得．注意驗證（2）注意設時兩數的任意性，作差要進行因式分解，提取公因式，最后確定各個因子符號，得差的符號，確定單調性（3）根據奇偶性將不等式轉化為，再根據函數單調性得，利用參變分離轉化為對應函數最值問題：最小值，由二次函數單調性確定最小值，即得實數的取值范圍．

試題解析：解：（1）∵函數的定義域為，且是奇函數，

∴，解得．

此時，滿足，即是奇函數．

∴．

（2）任取，且，則，，

于是 ，

即，故函數在上是增函數．

（3）由及是奇函數，知，

又由在上是增函數，得，即對任意的恒成立，

∵當時，取最小值，∴．