Question

已知函數f(x)=x³-(2m+1)x²-6m(m-1)x+1，x∈R，
(1)當m=-1時，求函數y=f(x)在[-1，5]上的單調區間和最值；
(2)設f′(x)是函數y=f(x)的導數，當函數y=f′(x)的圖象在(-1，5)上與x軸有唯一的公共點時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)當m=-1時，，
∴的兩個根為x=-3或x=2，
所以f(x)在（-1，2）上單調遞減，在(2，5)上單調遞增，
又，
故函數f(x)在[-1，5]上的最大值為，最小值為。
(2)由已知有，
函數f′（x）的圖象與x軸的公共點的橫坐標就是方程x²-(2m+1)x-3m(m-1)=0(*)的實數根，
即方程(*)在(-1，5)上有等根或有一個實根，
①當△=0時，有，此時，故為所求；
②當△＞0時，令，
設H(-1)·H(5)≤0，即，解得或，
檢驗端點，當m=-4和m=2時，不符合條件，舍去；
綜上，實數m的取值范圍是或或。