Question

【題目】已知函數（、為常數）.若函數與的圖象在處相切，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設函數 ，若在上的最小值為，求實數的值;

（Ⅲ）設函數，若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的圖象在處相切，所以即，求出值，即可求得的解析式；

（Ⅱ）化簡，利用導數研究函數的單調性，根據單調性可得是函數在上的極小值點，也就是它的最小值點，所以，從而可得結果；（Ⅲ）原不等式等價于恒成立，令，利用導數研究函數的單調性，可得，故要使恒成立，只要即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知得

函數的圖象在處相切，

所以即，

解得，

故

（Ⅱ）得，

當時，，即在上為減函數；

當時，，即在上為增函數；

所以是函數在上的極小值點，也就是它的最小值點，

因此的最小值為

∴

（Ⅲ）在

上恒成立，即對，恒成立，

令，則，

再令，則

故在上是減函數，于是，

從而所以在上是增函數，，

故要恒成立，只要，

所以實數的取值范圍為.