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【題目】如圖，垂直圓O所在的平面，是圓O的一條直徑，C為圓周上異于A，B的動點，D為弦的中點，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據垂直圓O所在的平面，有，易證.由線面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理證明.

（2）建立空間直角坐標系，分別求得平面，平面的一個法向量，代入二面角的向量公式求解.

（1）證明：因為垂直圓O所在的平面，所以，

因為D為弦的中點，O為圓O的圓心，所以.

因為，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）如圖所示：

以O為原點，建立空間直角坐標系.

則

從而

設平面的法向量為，

則，即

令，得.

由（1）可得平面的一個法向量為

則平面與平面所成銳二面角的余弦值為

練習冊系列答案

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【題目】某土特產超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統計，得到如下人數分布表.

購買金額（元）
人數	10	15	20	15	20	10

（1）根據以上數據完成列聯表，并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

	不少于60元	少于60元	合計
男		40
女	18
合計

（2）為吸引游客，該超市推出一種優惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于人數分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產，請列出實際付款數（元）的分布列并求其數學期望.

附：參考公式和數據：，.

附表：

	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879
	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005

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【題目】“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節是中華民族的傳統節日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現代人們通過貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“福”字、春聯和燈籠這三類禮品中任意免費領取一件，若有4名顧客都領取一件禮品，則他們中有且僅有2人領取的禮品種類相同的概率是（）

A.B.C.D.

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【題目】某工廠，兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，生產線生產的產品為合格品的概率分別為和.

（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值.

①已知，生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失元和元。若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測，結果統計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估算該廠產量件時利潤的期望值.

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（1）將與的方程化為極坐標方程；

（2）若曲線與的公共點都在上，，求r.

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