Question

【題目】如圖，在梯形中，，平面平面，四邊形是菱形，.

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理證得，由此根據面面垂直的性質定理證得平面，從而證得,根據菱形的性質證得，由此證得平面，進而證得.（2）取的中點，連接，證得兩兩垂直，由此建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，進而求得其正切值.

(1)依題意，在等腰梯形中，，，

∵，∴即，

∵平面平面,平面,

而平面，∴．

連接，∵四邊形是菱形，∴，

∴平面, 平面，∴．

(2)取的中點，連接，因為四邊形是菱形，且．

所以由平面幾何易知，

∵平面平面，∴平面．

故此可以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系

各點的坐標依次為：，，，，，．設平面和平面的法向量分別為，，

∵，．

∴由 ，令，則，

同理，求得．

∴，故二面角的平面角的正切值為．