Question

如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

解　(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因為cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.

(2)設平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因為＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個法向量．取平面AA1B的一個法向量為n2＝(0,1,0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.

由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.

因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.