Question

如圖，一個粒子在第一象限運動，在第一秒末，它從原點運動到（0，1），接著它按如圖所示的x軸、y軸的平行方向來回運動，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移動一個單位，那么第2008秒末這個粒子所處的位置的坐標為

（16，44）

．

Answer 1

分析：該題顯然是數列問題．設粒子運動到A₁，A₂，…A_n時所用的間分別為a₁，a₂，…a_n，則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，由a_n-a_n-1=2n，則a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n，以上相加得到a_n-a₁的值，進而求得a_n來解．

解答：解：如右圖所示，
設粒子運動到A₁，A₂，…，A_n時所用的間分別為a₁，a₂，…，a_n，
則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，
將a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：
a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，
∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故運動了1980秒時它到點A₄₄（44，44）；又由運動規律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數點處向下運動，偶數點處向左運動．故達到A₄₄（44，44）時向左運動28秒到達點（16，44），即運動了2008秒．所求點應為（16，44）．
故答案為：（16，44）

點評：分析粒子在第一象限的運動規律得到數列{a_n}通項的遞推關系式a_n-a_n-1=2n是本題的突破口，對運動規律的探索知：A₁，A₂，…A_n中，奇數點處向下運動，偶數點處向左運動是解題的關鍵．