Question

已知函數f（x），x∈R滿足f（2）=3，且f（x）在R上的導數滿足f^/（x）-1＜0，則不等式f（x²）＜x²+1的解集為

 

．

Answer 1

分析：根據f（x）在R上的導數滿足f^/（x）-1＜0即f′（x）＜1，當f′（x）＜0時得到函數f（x）單調遞減，當x²＜2時，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，矛盾；當0＜f′（x）＜1時得到函數f（x）單調遞增，當x²＞2時，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，求出解集即可．

解答：解：根據f（x）在R上的導數滿足f^/（x）-1＜0即f′（x）＜1，討論導函數的正負得到函數的單調區間為：
①當f′（x）＜0時得到函數f（x）單調遞減，
即當x²＜2時，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，矛盾；
②當0＜f′（x）＜1時得到函數f（x）單調遞增，
即當x²＞2時，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，所以x＞

2

或x＜-

2

綜上，不等式f（x²）＜x²+1的解集為{x|x＞

2

或x＜-

2

}
故答案為{x|x＞

2

或x＜-

2

}

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，會利用函數的單調性解決實際問題的能力．