Question

如圖是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發現．我們來重溫這個偉大發現：
（1）求圓柱的體積與球的體積之比；
（2）求圓柱的表面積與球的表面積之比．

Answer 1

分析：（1）設圓柱的高為h，底面半徑為r，球的半徑為R，求出圓柱的體積，球的體積，即可得到結論．
（2）求出圓柱的表面積，球的表面積即可得到比值．

解答：解：（1）設圓柱的高為h，底面半徑為r，球的半徑為R，由已知得h=2R，r=R．
∵V_圓柱=πR²•2R．
∴

V圓柱

V球

=

2πR3

4 3 πR3

=

3

2

．

（2）∵S_圓柱=S_側+2S_底=2πrh+2πr²=6πr²，S_球=4πr²．
∴

S圓柱

S球

=

6πr2

4πr2

=

3

2

．

點評：本題是基礎題，看錯圓柱和球的體積、表面積，考查計算能力，常考題目．