Question

(本小題滿分14分)
若函數 (a，b∈R)，且其導函數f′ (x)的圖象過原點．
(Ⅰ)當a=1時，求函數f(x)的圖象在x=3處的切線方程；
(Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=－9，求實數a的最大值．

Answer 1

(Ⅰ) 3x－y－8="0." (Ⅱ) a的最大值為．

第一問，根據導函數圖象過原點得b=0,然后就可以求出切線方程；第二問分離出參數a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根據一元二次方程根的分布求出a的最大值。
解：，f′ (x)=x²－(a+1)x+b，         ……1分
由f′ (0)=0得 b=0，f′ (x)=x(x－a－1).                                ……3分
(Ⅰ)當a=1時, ，f′ (x)=x(x－2)，f(3)=1，f′ (3)=3.    ……5分
所以函數f(x)的圖像在x=3處的切線方程為y－1=3(x－3)，             ……6分
即3x－y－8=0.                                                   ……7分
(Ⅱ)存在，使x<0得f′ (x)=x(x－a－1)=－9，
，a≤－7，       ……10分
當且僅當x=－3時，a=－7．                                       ……12分
所以a的最大值為－7．                                           ……14分
(Ⅱ)另解：由題意“存在x<0，使得f′ (x)=x(x－a－1)=－9”有
方程x²－(a+1)x+9=0有負數根．                                  ……8分
又因為兩根之積等于9>0，所以兩根均為負數．                     ……10分
則                                   ……12分
解得a≤－7，                                                  ……13分
所以a的最大值為．                                         ……14分