Question

【題目】已知是滿足下列性質的所有函數組成的集合：對任何（其中為函數的定義域），均有成立.

（1）已知函數，，判斷與集合的關系，并說明理由；

（2）是否存在實數，使得，屬于集合？若存在，求的取值范圍，若不存在，請說明理由；

（3）對于實數、 ，用表示集合中定義域為區間的函數的集合.

定義：已知是定義在上的函數，如果存在常數，對區間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數”，其中常數稱為的“絕對差上界”，的最小值稱為的“絕對差上確界”，符號；求證：集合中的函數是“絕對差有界函數”，并求的“絕對差上確界”.

Answer 1

【答案】（1）屬于集合；（2）；（3）略.

【解析】

（1）利用已知條件，通過任取，證明成立，說明f（x）屬于集合M．（2）若p（x）∈M，則有，然后可求出當時，p（x）∈M．（3）直接利用新定義加以證明，并求出h（x）的“絕對差上確界”T的值．

（1）設，

則，

∵，

∴，

∴

∴，

∴函數屬于集合．

（2）若函數，屬于集合，

則當時，恒成立，

即對恒成立，

∴對恒成立．

∵，

∴，

∴，解得，

∴存在實數，使得，屬于集合，且實數的取值范圍為．

（3）取，

則對區間的任意劃分：

，

和式

，

∴集合中的函數是“絕對差有界函數”，且的“絕對差上確界”．