Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M (

1

2

，

1

2

)且被M點平分的弦所在直線的方程．
（3）“設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程，利用短軸一個端點到右焦點的距離為

3

，離心率為

6

3

，可求橢圓C的標準方程；
（2）設這條弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率為k，由點差法即可得到

x1+x2

3

+k(y1+y2)=0，再由弦中點為M (

1

2

，

1

2

)，求出k，由此能求出這條弦所在的直線方程；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分①當AB⊥x軸時與AB與x軸不垂直時求出|AB|．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，由坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，可得到m2=

3

4

(k2+1)．同時與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，利用弦長公式即可得出|AB|．

解答：解：（1）因為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，
所以

c

a

=

6

3

，
又由短軸一個端點到右焦點的距離為

3

，
則a=

3

．
所以c=

2

，b²=a²-c²=3-2=1，
所以b²=a²-c²=1
所以橢圓C的標準方程是

x2

3

+y2=1；
（2）解：設這條弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率為k，
則

x12 3 +y12=1 x22 3 +y22=1

，
兩式相減再變形得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
即

x1+x2

3

+k(y1+y2)=0，
又弦中點為M (

1

2

，

1

2

)，故k=-

1

3

，
故這條弦所在的直線方程y-

1

2

=-

1

3

（x-

1

2

），整理得2x+6y-4=0；
（3）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，∵坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，
∴可取A（

3

2

，y₁），代入橢圓得

( 3 2 )2

3

+y12=1，解得y1=±

3

2

．
∴|AB|=

3

．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，
由坐標原點O到直線l的距離為

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，即m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=-

6km

3k2+1

，x1x2=

3m2+1

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
當k≠0時，
|AB|2=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

，
當且僅當k2=

1

3

時取等號，此時|AB|=2．
當k=0時，|AB|=

3

．
綜上可知：|AB|_max=2．△OAB的面積最大值為=

1

2

×2×

3

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，弦的中點問題，三角形面積的計算，基本不等式的運用，屬于中檔題．