Question

【題目】已知函數，（ 為實數），

（1）討論函數的單調區間；

（2）求函數的極值；

（3）求證：

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減（2）在取得極大值，其極大值為.（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）求導數得到，然后討論a的符號，從而可判斷導數符號，這樣即可求出每種情況下函數f（x）的單調區間；（2）可先求出函數g（x）的定義域，然后求導，判斷導數的符號，從而根據極值的概念求出函數g（x）的極值；（3）可知a=1時，f（x）在x=0處取得極小值，從而可得出，而由（2）可知g（x）在x=1處取得極大值，也是最大值-1，這樣即可得出lnx≤x-1＜x，這樣便可得出要證的結論

試題解析：（1）由題意得

當時， 恒成立，函數在R上單調遞增，

當時，由可得，由可得，

故函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）函數的定義域為， ，

由可得；由，可得.

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

故函數在取得極大值，其極大值為.

⑶當時， ，由（1）知， 在處取得極小值，也是最小值，且，故，得到.

由（2）知， 在處取得最大值，且，

故，得到.

綜上.