Question

已知雙曲線

2x2

9

-

2y2

3

=1，橢圓C與雙曲線有相同的焦點，兩條曲線的離心率互為倒數．
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓C經過點M，點M的橫坐標為2，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，l交橢圓于A、B兩個不同點，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，依據條件，待定系數法求出待定系數，進而得到橢圓的標準方程．
（2）用點斜式設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用判別式大于0，求出m的取值范圍．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只要證明k₁+k₂=0即可．設出A、B兩個點的坐標，并用此坐標表示k₁，k₂，把（2）中根與系數的關系代入k₁+k₂化簡可得結論．

解答：解（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，∵焦點坐標（±

6

，0），離心率是

3

2

，
a²=8，b²=a²-c²=2，
所以橢圓方程

x2

8

+

y2

2

=1
（2）因為直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又KOM=

1

2

，所以l的方程為：y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

?x2+2mx+2m2-4=0，
因為直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，（8分）
所以m的取值范圍是{m|-2＜m＜2，m≠0}．（9分）
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只要證明k₁+k₂=0即可．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4（10分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

（11分）
=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

（12分）
=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m+2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0∴k₁+k₂=0，
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與圓的位置關系的綜合應用．