Question

如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)當D₁E⊥平面AB₁F時,求二面角C₁EFA的大小(結果用反三角函數值表示).

Answer 1

解法一:(1)連結A₁B,則A₁B是D₁E在面ABB₁A₁內的射影.

∵AB₁⊥A₁B,∴D₁E⊥AB₁.

于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

連結DE，則DE是D₁E在底面ABCD內的射影.∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

∵四邊形ABCD是正方形,E是BC的中點,

∴當且僅當F是CD的中點時,DE⊥AF,

即當點F是CD的中點時,D₁E⊥平面AB₁F.

(2)當D₁E⊥平面AB₁F時,由(1)知點F是CD的中點.

又已知點E是BC的中點,連結EF,EF∥BD.

連結AC.設AC與EF交于點H,則CH⊥EF.連結C₁H,

則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.

∴C₁H⊥EF,即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角.

在Rt△C₁CH中,∵C₁C=1,CH=AC=,

∴tan∠C₁HC==2.

∴∠C₁HC=arctan2,從而∠AHC₁=π-arctan2.

故二面角C₁-EF-A的大小為π-arctan2.

解法二:以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.

 (1)設DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).

∴=(1,- ,-1), =(1,0,1), =(x,1,0).

∴·=1-1=0,即⊥.

于是⊥平面AB₁F⊥AF·=0x-=0,

即x=.故當點F是CD的中點時,D₁E⊥平面AB₁F.

(2)當D₁E⊥平面AB₁F時,F是CD的中點.

又E是BC的中點,連結EF,則EF∥BD.

連結AC,設AC與EF交于點H,則AH⊥EF.

連結C₁H,則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.

∴C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角.

∵C₁(1,1,1),H(,,0),

∴=(,,1), =(-,-,0).

∴cos∠AHC₁=,

即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

故二面角C₁-EF-A的大小為π-arccos.