Question

【題目】如圖，在三棱柱中，每個側面均為正方形， 為底邊的中點， 為側棱上的點，且滿足平面.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)因為三棱柱各側面都是正方形,所以， ，∴平面，∵平面，∴，可證平面，,再利用直線與平面垂直的判定定理進行證明;
(2) 取中點，連接， ,易知側面底面,是與平面所成角.,然后構造直角三角形,在直角三角形中求其正弦值,從而求解.

試題解析：（1）設和的交點為，連接， ，

∵為的中點， 為的中點，

∴又，∴即，

∵平面，又平面平面，

∴，∴為的中點，

∵三棱柱各側面都是正方形，所以， ，

∴平面，

∵平面，∴，

由已知得，∴，

∴平面，

∴平面，

∴，

∵側面是正方形，∴，

又， 平面， 平面，∴平面.

（2）取中點，連接， ，

在三棱柱中，∵平面，

∴側面底面，

∵底面是正三角形，且是中點，∴，所以側面，

∴是在平面上的射影.

∴是與平面所成角.

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