Question

設f(x)是定義在D上的函數，若對任何實數α∈(0，1)以及D中的任意兩數x₁，x₂，恒有f(αx₁＋(1－α)x₂)≤αf(x₁)＋(1－α)f(x₂)，則稱f(x)為定義在D上的C函數．

(1)試判斷函數f₁(x)＝x²，中哪些是各自定義域上的C函數，并說明理由；

(2)已知f(x)是R上的C函數，m是給定的正整數，設a_n＝f(n)，n＝0，1，2…，m，且a₀＝0，a_m＝2m，記S_f＝a₁＋a₂＋…＋a_m．對于滿足條件的任意函數f(x)，試求S_f的最大值；

(3)若f(x)是定義域為R的函數，且最小正周期為T，試證明f(x)不是R上的C函數．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)是C函數，證明如下： 　　對任意實數及， 　　有． 　　即． 　　∴是C函數．不是C函數，證明如下： 　　取，，， 　　則． 　　即．∴不是C函數．　　4分 　　(2)對任意，取，，．是R上的C函數，，且 　　∴． 　　那么． 　　可證是C函數，且使得都成立，此時． 　　綜上所述，的最大值為．　　9分 　　(3)假設是R上的C函數． 　　若存在且，使得． 　　若， 　　記，，，則，且． 　　那么 　　這與矛盾． 　　若，記，，也可得到矛盾． 　　∴在上是常數函數， 　　又因為是周期為T的函數，所以在R上是常數函數，這與的最小正周期為T矛盾． 　　所以不是R上的C函數．　　14分