Question

(本小題滿分13分)
已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2-(+1)a_n(n≥1)．
（1）求證：數列{}是等比數列；
（2）設數列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n，A_n=.試比較A_n與的大小。

Answer 1

解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，                               1分
由S_n=2-(+1)a_n得S_n-1=2-(+1)a_n-1，
于是a_n=S_n- S_n-1=(+1)a_n-1-(+1)a_n，
整理得=×（n≥2）,                                    4分
所以數列{}是首項及公比均為的等比數列.                       5分
（2）由（Ⅰ）得=×=.                            6分
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，                           7分
_，
A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=.
9分
又=,問題轉化為比較與的大小,即與的大小.
設f(n)= ，g(n)=.
∵f(n+1)-f(n)=，當n≥3時, f(n+1)-f(n)>0,
∴當n≥3時f(n)單調遞增，                                        11分
∴當n≥4時，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴當n≥4時f(n) >g(n)，
經檢驗n=1,2,3時，仍有f(n) ≥g(n)，
因此，對任意正整數n，都有f(n) >g(n),
即A_n <.                                                    13分

略