Question

【題目】設函數，，，其中是的導函數.

（1）令，，，求的表達式；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）求出的解析式，依次計算即可得出猜想；
（2）已知恒成立，即 恒成立．

設 (x≥0)，

則φ′(x)＝=－＝，

對 進行討論，求出 的最小值，令 恒成立即可；

詳解：

由題設得，g(x)＝ (x≥0)．

(1)由已知，g1(x)＝，

g2(x)＝g(g1(x))＝＝，

g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.

下面用數學歸納法證明．

①當n＝1時，g1(x)＝，結論成立．

②假設n＝k時結論成立，即gk(x)＝.

那么，當n＝k＋1時，

gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，

即結論成立．

由①②可知， 結論對n∈N＋成立．

所以gn(x)＝.

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

設φ(x)＝ln(1＋x)－ (x≥0)，

則φ′(x)＝=－＝，

當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)．

當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0，

即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．

綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．