Question

已知曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，它的右準(zhǔn)線方程l：x＝，l與x軸交于E，一條漸近線方程是y＝x，線段PQ是過(guò)曲線C右焦點(diǎn)F的一條弦．

(1)求曲線C的方程；

(2)若R為PQ中點(diǎn)，且在直線l的左側(cè)能作出直線m：x＝a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足＝0，當(dāng)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍；

(3)若過(guò)P作PM∥x軸交l于M，連MQ交x軸于H，求證H平分EF．

Answer 1

答案：
解析：

(1)x2－＝1　(x≥1)　　4分 　　(2)·＝0即PS⊥QS，|RS|＝|PQ|　　6分 　　2[－a]＝e(x1－)＋e(x2－) 　　x1＋x2＝2－2a，又x1＋x2≥4　　∴a≤－1　　10分 　　(3)PQ⊥x軸時(shí)，P(2，3)Q(2，－3)　　M(，3) 　　MQ方程y＝－4x＋5　令y＝0，xH＝＝(xE＋xF)　　12分 　　PQ不垂直于x軸時(shí)，M(，y1)　Q(x2，y2)　P(x1，y1) 　　PQ方程 　　(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0 　　 　　MQ方程y－y1＝(x－) 　　令y＝0　　　14分 　　即證： 　　展開(kāi)得　即證：5(x1＋x2)－4x1x2－4＝0 　　將代入恒成立 　　即MQ恒過(guò)(，0)點(diǎn)，即H為EF的中點(diǎn) 　　綜上獲證　16分