Question

如圖已知正四棱柱ABCD----A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，點E為CC₁的中點，點F為BD₁的中點。

（1）證明：EF⊥平面_;
（2）求點A₁到平面BDE的距離;
（3）求BD₁與平面BDE所成的角的余弦值.

Answer 1

(1) 以D為原點，DA、DC、AA₁所在直線為X、Y、Z軸建立空間直角坐標系.
D(0，0，0)，B（1，1，0）
D₁（0，0，2），E（0，1，1），F（，，1）       
∴=（1，1，0），=（0，0，2），  

x

    =（，－，0）                                                                                                                

由 ·=0，·=0，
得，EF⊥DB，EF⊥DD₁ ∴EF⊥面D₁DB_{1----------------------------------------------------}
(2) 設=（x,y,z）是平面BDE的法向量，=(1,1,0)， =(0,1,1)
由⊥, ⊥得 即
∴取y=1，=（-1，1，-1）
,由(2)知點到平面BDE的距離為 =----
(3) =(-1,-1,2)
由(2)知
設直線BD₁與平面BDE所成的角的正弦值為,則sin=,cos=
∴直線BD₁與平面BDE所成的角的余弦值為--------------------

略