Question

已知橢圓的一個頂點為B(0，4)，離心率， 直線交橢圓于M,N兩點．
（1）若直線的方程為y=x-4，求弦MN的長：
（2）如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由橢圓頂點知，又離心率，且，所以，從而求得橢圓方程為，聯立橢圓方程與直線消去得，，再根據弦長公式，可求得弦的長；（2）由題意可設線段的中點為，則根據三角形重心的性質知，可求得的坐標為，又設直線的方程為，根據中點公式得，又由點是橢圓上的點所以，兩式相減整理得，從而可求出直線的方程.
（1）由已知，且，.所以橢圓方程為.    4分
由與聯立，消去得，.    6分
.    7分
（2）橢圓右焦點的坐標為，設線段的中點為，由三角形重心的性質知，又，，故得.所以得的坐標為.    9分
設直線的方程為，則，且，兩式相減得.    11分
，故直線的方程為.    13分