Question

設函數f（x）=x³+x²+x+5（a，b∈R，a＞0）的定義域為R．當x=x₁時取得極大值，當x=x₂時取得極小值．
（I）若x₁＜2＜x₂＜4，求證：函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-1]上是單調減函數；
（II）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=4，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：法一 f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
因為f（x）當x=x₁時取得極大值，當x=x₂時取得極小值．
所以f'（x）=ax²+（b-1）x+1=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）由題知，f'（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
當且僅當
所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-＞-1．
因為函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-）上是單調減函數，
所以函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-1]上是單調減函數；
（Ⅱ）因為方程ax²+（b-1）x+1=0的兩個根x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₁•x₂=＞0，所以x₁，x₂同號．
又|x₁-x₂|==4，所以（b-1）²=16a²+4a．③
若-2＜x₁＜0，則-2＜x₁＜x₂＜0，則|x₁-x₂|＜2，與|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，則所以4a+1＜2（1-b），
結合③得（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a），解得a＞或-a＜．結合a＞0，得a＞．
所以2（1-b）＞4a+1＞，得b＜．
所以實數b的取值范圍是（-∞，）．
法二 f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
（Ⅰ）由題知，f'（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，
當且僅當
由①得，-b＞2a-．
因為a＞0，所以-＞1-．③
由結合③，得-＞-1．
因為函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-）上是單調減函數，
所以函數g（x）=ax²+bx+1在區間（-∞，-1）上是單調減函數；
（Ⅱ）因為x₁•x₂=＞0，所以x₁，x₂同號．
由|x₁|＜2，得-2＜x₁＜2．
若-2＜x₁＜0，則-2＜x₁＜x₂＜0，則|x₁-x₂|＜2，與|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，則x₂＞4．
所以得b＜．
又因為|x₁-x₂|==4，所以（b-1）²=16a²+4a．
根據④⑤得得結合b＜，得b＜；
所以實數b的取值范圍是（-∞，）．
分析：法一 （Ⅰ）先求導數：f'（x）=ax²+（b-1）x+1．根據f（x）當x=x₁時取得極大值，當x=x₂時取得極小值，由題知，f'（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，利用根的分布得出關于a，b的不等關系，結合二次函數的性質即可得到答案；
（Ⅱ）利用方程ax²+（b-1）x+1=0的兩個根x₁，x₂（x₁＜x₂），根據根與系數的關系結合又|x₁-x₂|=4，得a，b的范圍即可．
法二 （Ⅰ）先求導數f'（x）=ax²+（b-1）x+1．由題知，f'（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，利用二次方程根的分布得出a，b的不等式組，得-＞-1．最后結合二次函數的性質得出結論．
（Ⅱ）因為x₁•x₂=＞0，所以x₁，x₂同號得出兩根的范圍：0＜x₁＜2，則x₂＞4．結合根的分布得出實數b的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查利用導數研究函數的單調性、函數在某點取得極值的條件，考查計算能力．