已知橢圓
的對稱軸為坐標軸，焦點是
，又點
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程;
（2）已知直線
的斜率為
，若直線與橢圓交于
、
兩點，求
面積的最大值．
（1）
；（2）面積的最大值為
.
解析試題分析：（1）根據橢圓的焦點可設橢圓的方程
，然后將
代入可求解得
，從而可確定橢圓的方程；（2）設直線
的方程
及
，聯立直線與橢圓的方程，消去
得到
，先由
確定
的取值范圍，然后根據二次方程根與系數的關系得到
，從而由公式
計算出
，再由點到直線的距離公式計算出點
到
的距離為
，最后得到
，利用基本不等式可得面積的最大值.
試題解析：（1）由已知橢圓的焦點為
，故設橢圓方程為 2分
將點代入方程得
，整理得
4分
解得
或
（舍），故所求橢圓方程為 6分
（2）設直線的方程為，設 7分
代入橢圓方程并化簡得 9分
由
，可得
①
由 11分
故
又點到的距離為
13分
故
當且僅當
，即
時取等號（滿足①式）
所以面積的最大值為 15分.
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與圓錐曲線的綜合問題；3.基本不等式.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示,在直角坐標系xOy中,點P
到拋物線C:y2=2px(p>0)的準線的距離為
.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB被直線OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A(－2,0)，B(2,0)，點P為動點，且直線AP與直線BP的斜率之積為－
.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點D(1,0)的直線l交軌跡C于不同的兩點M，N，△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出△MON的面積的最大值及相應的直線方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為
.過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.過定點M(0，3)的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(點G在點M，H之間)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線l1的斜率k>0，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知頂點為原點
的拋物線
的焦點
與橢圓
的右焦點重合與
在第一和第四象限的交點分別為
.
（1）若△AOB是邊長為
的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若
，求橢圓的離心率
；
（3）點
為橢圓上的任一點，若直線
、
分別與
軸交于點
和
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為橢圓
的右焦點,且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的的動點.
（1）求橢圓標準方程；
（2）設動點
滿足：
，直線
與
的斜率之積為
，證明：存在定點
使
得
為定值，并求出的坐標；
（3）若
在第一象限，且點
關于原點對稱，
垂直于
軸于點
，連接
并延長交橢圓于點
，記直線
的斜率分別為
，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知A，B，C是橢圓W：
＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．
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＋
＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為
.
的直線被C所截線段的中點坐標．
：方程
表示的曲線是焦點在y軸上的雙曲線，命題
：方程
無實根，若
為真，求實數
的取值范圍．